viernes, 3 de junio de 2016

TRIGONOMETRIA OCCIDENTAL (II)

En la entrada anterior vimos los inicios de la Trigonometría occidental; centrados en los siglos XV y XVI. En esta entrada veremos la continuación, es decir; siglos XVII y XVIII
 
A principios del siglo XVII se produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias a John Napier (1550-1617), el cual invento de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo y  planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos.


 
Ya en el siglo XVIII destacaremos a dos personajes:
     -El primero Sir Isaac Newton, el cual inventó el cálculo diferencial e integral, lo que permitió representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante potencias. Con la invención del cálculo, la Trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental.
 
     - El segundo Leonhard Euler fundó la trigonometría moderna, introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas, popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.

FUENTES:
 
CHRISTIAN Y NOELIA

TRIGONOMETRICOS DESTACADOS EN LOS INICIOS DE LA TRIGONOMETRIA OCCIDENTAL. PARTE 2.

En la entrada anterior vimos a Johann Müller, en esta entrada veremos a otras dos personas cuya aportación de los inicios de la Trigonometría Occidental fue importante.
 
El primero es Georg Joachim Rheticus  , fue un matemático, astrónomo, teólogo, cartógrafo, constructor de instrumentos musicales y médico austriaco.
 
Fue el único discípulo de Copérnico y ayudo bastante a la difusión del pensamiento copernicano, pero por que más nos interesa a nosotros por su otra gran aportación. Estas fueron sus tablas de funciones trigonométricas realizadas con una exactitud de 10 segundos, cuyo cálculo fue terminado por su discípulo Valentinus Otho, que las editó en Opus palatinum de triangulis.
 
 
 

El otro personaje importante es François Viète fue un matemático francés.
 
Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras.
 
François Viète también fue conocido en su época como súbdito del rey, reconocido por su lealtad y competencia. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.

Entre 1564 y 1568, se sumerge en trabajos de astronomía y trigonometría y redacta un tratado que quedará inédito: Harmonicon Cœleste
 
En 1593, partiendo de consideraciones geométricas y por medio de cálculos trigonométricos que dominaba, descubre el primer producto infinito de la historia de las matemáticas que daba una expresión de π.
 
Proporcionó 10 decimales exactos de π recurriendo al método de Arquímedes que, ayudándose de un polígono de 393.216 lados, es claramente más sencillo que múltiples extracciones de raíces de raíces.
 
CHRISTIAN Y NOELIA
 
FUENTES:


TRIGONOMETRICOS DESTACADOS EN LOS INICIOS DE LA TRIGONOMETRIA OCCIDENTAL. PARTE 1.

Ya vimos que los principios de la Trigonometría Occidental datan del siglo XV-XVI. Podemos destacar tres personajes importantes:
 
El primero es Johann Müller cuya obra se puede englobar en tratados de matemática, centrados en lo que hoy se denomina trigonometría y tratados sobre astronomía. También describe e inventa varios instrumentos útiles para la observación y la medida del tiempo (relojes solares).

 Destacaremos:

De Triangulis Omnimodis
Esta se compone de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas y la función seno. Proporciona algunos axiomas que serán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía.
 
Tablas de senos
En su estancia en Hungría, calcula dos tablas de senos. La primera la realiza en 1467 y emplea una división sexagesimal de los ángulos, la otra escrita en Buda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.
 
Otras obras
En el terreno de la astronomía también publicó el trabajo "Epitome in Almagestum"  donde  trata el sistema de Ptolomeo.
 


CHRISTIAN Y NOELIA

FUENTES:
https://es.wikipedia.org/wiki/Johann_M%C3%BCller_Regiomontano#Obra



martes, 24 de mayo de 2016

INICIOS TRIGONOMETRÍA OCCIDENTAL.

La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe.Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema.
Fue el matemático alemán Johann Müller, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”, está comupesta de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno.
Enunciará 56 teoremas. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía. 
  Posteriormente calcula dos tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.
Ya en el siglo XVI, Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
En esa misma época, el matemático francés François Viète introduce la trigonometría esférica*.
*TRIGONOMETRIA ESFÉRICA: Es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en alta mar mediante la observación de los astros.
FUENTES:

Matemáticos árabes. Parte 2

Continuaremos viendo a personajes importantes árabes.

 Abú al-Wafá  fue un astrónomo y matemático que nació y murió en Irak, donde los árabes hicieron del álgebra una herramienta científica.

En cuanto a la Trigonometría contribuyo con las fórmulas del seno de la suma de dos ángulos y la del seno y coseno del ángulo doble. Introdujo la función tangente y creó tablas de senos y tangentes con 15´ de intervalos de arco.

Por su parte en la astronomía estudió los movimientos de la Luna y con su nombre se le bautizó a un cráter situado cerca del ecuador lunar.

Utilizó el sistema de contar con los dedos, aunque era un experto en al utilizar el sistema de numeración hindú, pues en aquella época era el sistema utilizado para el comercio.



Aquí encontramos una imagen de como era el sistema de contar con los dedos, que como podemos observar no era precisamente como el actual.


En su libro La revisión del Almagesto completó las tablas trigonométricas de sus predecesores.
Y descubrió la formula del seno para la geometría esférica.


Por otra parte encontramos a Al-Jayyani que es un conocido astrónomo de Jaen, ciudad que se siente muy orgullosa de él. Pero no solo es famoso por la astronomía también es un reconocido matemático.

Comúnmente era conocido como "El de Jaen", y es que desde esta ciudad realizó la mayor parte de sus estudios.

Una de  sus grandes aportaciones es el primer tratado de Trigonometría esférica. Él cual fue utilizado por el conocido astrónomo alemán Regiomontanus, y además se cree que este tratado fue el que le salvó la vida a Cristobal Colón y su tripulación al permitirle predecir un eclipse lunar que

Una de las grandes aportaciones es el primer tratado de Trigonometría esférica, muy utilizado en sus estudios por el conocido astrónomo alemán Regiomontanus.
Además hay una leyenda que dice que cuando Cristobal Colón se encontraba en América se vio atacado por unos nativos que querían acabar con su vida y con las de su tripulación entonces Colón como hombre de estudios y que conocía los cielos utilizando este tratado predijo que habría esa noche un eclipse. Efectivamente esto ocurrió y los nativos aterrorizados soltaron a Colón y su tripulación y a partir de ese momento los trataron como dioses.

También es importantes nombrar las tablas de Jaen que se trata de unas tablas astronómicas para conocer la hora del día, el calendario, las fases lunares y eclipses, así como la información necesaria para establecer las horas y dirección de los rezos de los creyentes. Es digno de mención que estas tablas se realizaron tomando como referencia el meridiano que pasaba por la ciudad de Jaen, colocando así a su ciudad en el origen del sistema de coordenadas universal, de modo similar  a como lo es Greenwich en nuestros días. Por desgracia estas tablas no han llegado hasta la actualidad pero aparecen nombradas en un montón de escritos de la época.

Realizó estudios sobre el crepúsculo matutino y vespertino, estableciendo con precisión un valor de 18 grados para el ángulo del Sol bajo el horizonte cuando estos empiezan o terminan.

Pero por lo que es más reconocido actualmente es por su observación del eclipse total del Sol que ocurrió en Jaen  el 1 de Julio del año 1079.


                                        eclipse

Información de:
aljayani.ujaen.es/index.php?page=texto

https://ztfnews.wordpress.com/2015/06/10/abu-al-wafa-buzjani/
matemolivares.blogia.com/.../061001-abu-al-wafa-el-olvidado-matematico-arabe-uno...
www.ortiznava.com/2011/12/abul-wafa-matematico-y-astronomo-persa/

Hecho por: Noelia y Christian


viernes, 13 de mayo de 2016

MATEMÁTICOS ARABES. PARTE 1

En la entrada anterior vimos el desarrollo de la Trigonometría árabe y vimos como destacados a cinco personajes, de los cuales vamos a conocer más a fondo a tres en esta entrada.
 
El primero es Al-Kwarizmi. Fue un matemático y astrónomo árabe. Su principal aportación fue la de introducir a los matemáticos europeos en los numerales indoarábigos.
 
Al-Khwarizmi vivió en Bagdad bajo los califatos de al-Ma'mum y al-Mu'tasim, en la edad de oro de la ciencia islámica. Su obra Kitab al-jabr wa al-muqabalah fue traducida al latín en el siglo XII dando origen al término "álgebra". En ella se compilan una serie de reglas para obtener las soluciones aritméticas de las ecuaciones lineales y de las cuadráticas; su método de resolución de tales ecuaciones no difiere en esencia del empleado en nuestros días.
Otra obra de este es Algoritmi de numero Indorum, aunque solo se la traducción en latín.
 
El segundo personaje es Al-Marwazi. Fue un astrónomo y matemático árabe. Vivió en Bagdad, donde enseñó y llevó a cabo varias observaciones astronómicas. Destaca su aportación al desarrollo de la trigonometría y su teoría del movimiento de la Luna.

 
El tercer personaje es  Al-Battani. Este fue un príncipe, astrónomo, astrólogo y matemático árabe. Deriva de su ciudad natal Harrán, cerca de Mesopotamia, en la actual Turquía.
Es muy conocido por haber logrado una determinación precisa del año solar como 365 días, 5 horas, 46 minutos y 24 segundos.
Trabajó en ar-Raqqah; en la orilla norte del río Éufrates y en Damasco (capital de Siria). Murió en Qasr al-Jiss cerca de Samarra; a orillas del río Tigris.

 
CHRISTIAN Y NOELIA
 
FUENTES

domingo, 8 de mayo de 2016

TRIGONOMETRÍA ÁRABE.

Después de la Trigonometría de la India podemos destacar la Trigonometría árabe, la cual  se baso en la de la India.
Los primeros pasos de los árabes en la Trigonometría fueron tomar la función del seno, la cual ya había sido nombrada por los indios.
Esto lo hicieron en el siglo VIII, pero las mayores aportaciones de estos en esta ciencia fueron a lo largo de los siglos IX y X.
A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno y, pone en una tabla los valores de la tangente.

                                                        novapedagogia2012.blogspot.com
Después otro matemático árabe, Al-Marwazi, produce la primera tabla de cotangentes.

Pero quizás el matemático árabe más importante en la trigonometría fue Al-Battani, quien definió las razones trigonométricas denla secante y la cosecante y sus tablas, y realizó varias relaciones trigonométricas  por ejemplo, que tan(a)=sen(a)/cos(a) o sec2(a)=1+tan2(a).
                                                             zilzaal.blogspot.com
Ya en el siglo X, , Abu al-Wafa, ya utilizaban las 6 razones trigonométricas clásicas. Éste matemático árabe consiguió compilar tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado. Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica, fueron otras de las aportaciones de al-Wafa.
                                                       biographycolllection.blogspot.com
Y no podemos terminar el apartado sobre la  Trigonometría árabe sin hablar del matemático andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien escribió el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica.
Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre lugares… todos estos logros también fueron  alcanzados por los matemáticos árabes.

FUENTES:
http://matematicarabe.blogspot.com.es/2009/04/trigonometria.HTML
http://naukas.com/2010/10/15/una-breve-historia-impresionista-de-la-trigonometria-ii-de-arabia-a-europa/

CHRISTIAN Y NOELIA


Matemáticos de la India


Vamos a profundizar un poco en la vida de estos grandes genios indios.

Primero nos centraremos en Aryabhata, el cuál fue un matemático y astrónomo indio. Nació en la actual Patna, antiguamente conocida como Pataliputra, en el año 476 d.C.
Patna era la capital de un imperio que se formo tras la caída de Alejandro Magno.

Aryabhata es conocido por descubrir la solución de  la ecuación de segundo grado, la solución de determinados números primos muy parecidos a pi (3,1416), y las funciones seno y coseno. Además también llego a indicar el medio de resolver por las ecuaciones indeterminadas de primer grado con dos incógnitas.

Su obra más importante, llamada por la posteridad Aryabhatiya, es un libro en verso organizado en cuatro capítulos en el que se habla de muy diversos temas de astronomía y matemáticas.
En el Aryabhativa aparecen algunas ecuaciones algebraicas resueltas por el método de inversión, que consiste en partir del resultado e ir haciendo las operaciones inversas en sentido contrario a como se dan en el enunciado.





También vamos a centrar nuestra atención en Varahamihira.
Varahamihira fue un filósofo, astrónomo y matemático indio que escribió una obra titulada los cinco tratados en la cual recogió un montón de información sobre las matemáticas tanto lo descubierto por los egipcios, como los griegos y hasta los indios. 

                                          Resultado de imagen de Varahamihira

NOELIA Y CHRISTIAN 

miércoles, 27 de abril de 2016

TRIGONOMETRÍA EN LA INDIA.


 


Ya vimos que los griegos habían hecho una gran aportación a la Trigonometría. Y al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India desarrollaron también un sistema trigonométrico propio.

Estos tenían en la cabeza a Aryabhata.

El sistema trigonométrico que crearon estaba basado en la función seno en vez de en cuerdas. Al contrario que el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada.

Además, estudiaron otras razones trigonométricas como el coseno y el verseno (1-coseno), y midieron estos datos en intervalos desde 0º hasta 90º.

Por último, otro matemático hindú, Varahamihira, gracias a los trabajos de Aryabhata, comenzó a utilizar una de las fórmulas más famosas de la trigonometría moderna, sen2(x)+cos2(x)=1.
... are some important trigonometric results attributed to Varahamihira
 
FUENTES:
 
CHRISTIAN Y NOELIA.

domingo, 24 de abril de 2016

Grandes genios de la Grecia Antigua

Teniendo en cuenta que Hiparco de Nicea es conocido como el padre de la Trigonometría hemos pensado que sería importante conocer un poco más de él.

Nació en una ciudad llamada Nicea en la actual Turquía sobre el año 190 a.C.
La mayoría de sus investigaciones las conocemos debido a que Claudio Tolomeo, un famoso astrónomo, las comento en una de sus obras.

Un ejemplo de que sus cálculos eran muy precisos es que al calcular la duración de las estaciones, solo se equivoco con un margen de error de unos seis minutos con respecto a las actuales.

Fue un importante astrónomo, pero no es por eso por lo que nos interesa a nosotros, si no por que realizó importantes aportes a la Trigonometría.
Introdujo la división del circulo en 360 grados e inventó la tabla de cuerdas, que ya nombramos en la anterior entrada, e incluso llego a medir la distancia de la Tierra a la Luna y quedar muy cerca de la realidad.

                Hiparco en pleno trabajo

Murió en Rodas, en Grecia en el año 120 a.C.

Pero a un así su pensamiento influyó mucho en Claudio Tolomeo, que fue un astrónomo, matemático y geógrafo griego.

La vida personal de Claudio Tolomeo no se conoce, pero se sabe que fue el último gran representante de la astronomía griega . Con toda la información de sus antecesores y sobre todo de Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del mundo que representaba con una gran exactitud los movimientos de los planetas el único inconveniente es que en el centro de este sistema se encontraba la Tierra y no el Sol.

                             

Como geógrafo recopiló las técnicas matemáticas para el trazado de mapas precisos mediante distintos sistemas de proyección

Además escribió una obra en la cual hablaba de la teoría de los espejos y sobre la refracción y la reflexión de la luz.
                             



Fuentes: http://www.astromia.com/biografias/tolomeo.htm

miércoles, 20 de abril de 2016

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA. ANTIGUA GRECIA.

 
Como ya vimos el origen de la Trigonometría podía centrarse en tres lugares:
   -EGIPTO
   -MESOPOTAMIA
   - Y LA ANTIGUA GRECIA.
Dentro de la Antigüedad de Grecia, nos fijaremos en el siglo II a.C.

A la sociedad de la Antigua Grecia, llegaron los conocimientos de egipcios y mesopotámicos. Dentro de esta se diferencia en el siglo II a.C. la figura de Hiparco de Nicea, conocido como el padre de la Trigonometría.
                                                           www.biografiasyvidas.com

Hiparco construyó las tablas de cuerdas, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. En ellas iba relacionando las medidas angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas fue recorriendo una circunferencia de radio r desde los 0º hasta los 180º e iba apuntando en la tabla la longitud de la cuerda.

No se sabe el valor que  Hiparco usó para el radio r de esa circunferencia, pero 300 años más tarde   Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal.

Además Ptolomeo enunció el llamado Teorema de Menelao, utilizado para resolver triángulos esféricos, y aplicó sus teorías trigonométricas en la construcción, por ejemplo de relojes de sol.


                                                             www.profezequias.net
FUENTES

CHRISTIAN Y NOELIA

domingo, 17 de abril de 2016

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA. MESOPOTAMIA.

Como hemos comentado en la entrada anterior la Trigonometría comenzó a desarrollarse en las antiguas civilizaciones de Mesopotamia y Egipto, y esto es debido a que eran las potencias del momento, eran las zonas del planeta Tierra más desarrolladas.

Cuando hablamos de Mesopotamia, nos referimos especialmente a unas de las ciudades más importantes de esta región Babilonia. Bastante famosa por sus jardines colgantes, considerados una de las siete maravillas del mundo antiguo, de los cuales ya no quedan ni las ruinas y es que estamos hablando de hace mucho tiempo atrás, unos 3000 años aproximadamente.

Y te preguntaras por que razón la gente inventaría esto y con que fin. Pues como todo en esta el principal objetivo era sobrevivir y por eso se empezó utilizando en la agricultura, para hacer medidas.
Pero al ver que esto funcionaba, vieron un montón más de utilidades como para los estudios de la astronomía, para crear calendarios, en la navegación, ...

Pero por supuesto fueron los egipcios los que impulsaron esta rama de las matemáticas, con sus aportaciones en la geometría y la aritmética, y por supuesto con funciones practicas en la agricultura por la necesidad de calcular correctamente los campos tras la inundación anual del Nilo. 


Pero claro esta luego avanzaron muchísimo en estas ciencias para poder construir los monumentos que construyeron especialmente las pirámides, grandes obras arquitectónicas en las cuales tubo que utilizarse la Trigonometría. 

Los egipcios fueron los que establecieron el sistema sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos. 


Y como resultado de todos estos estudios nos han quedado las pirámides.

Resultado de imagen de piramide de egipto trigonometria



Y después todos sus conocimientos pasaron al imperio de Grecia en el siglo II a.C. 


NOELIA Y CHRISTIAN